Re: Numero di scale musicali - lungo

Solo qualche puntualizzazione tra le righe...

> "antologiko"
> Introduco velocemente alcuni concetti musicali per rendere il quesito
> usufruibile a tutti (cmq sono cose che ho imparato su wikipedia tanto
> per evitare fraintendimenti circa il mio grado di preparazione! :)).

> Nella musica contemporanea viene usata la suddivisione dell'ottava
> chiamata temperamento equabile: in pratica l'ottava viene divisa in 12
> note facendo in modo che rimanga fisso il rapporto tra le frequenze di
> note adiacenti. Per fare ciò, se f è la frequenza della prima nota si
> vede facilmente che la sequenza delle 12 note deve essere: f,
> f*2^(12/1), f*2^(12/2) ... f*2^(12/11) per poi arrivare all'ottava che
> vale f*2^(12/12) = 2*f, e così via.

Le varie potenze sono il reciproco di quanto hai scritto e cioè: f*2^(1/12), 
f*2^(2/12), ecc.

> Fissata la frequenza della nota iniziale si costruisce quindi una
> serie infinita di frequenze dette appunto "note" (quindi secondo la
> nostra teminologia provvisoria, non tutte le frequenze sono delle
> note!).
> Le note uguali a meno di ottave vengono poi chiamate con lo stesso
> nome (a volte per distinguerle, al nome si affianca il numero
> dell'ottava); ovvero detto in termini matematici, due note di
> frequenza x1 e x2 vengono convenzionalmente chiamate con lo stesso
> nome se x1 mod 13 = x2 mod 13. Inteso in tal senso si può dire che in
> musica le note sono solo 12.

Non credo che il mod 13 c'entri molto. Innanzitutto se è 13 ottieni 13 
possibili resti (da 0 a 12) mentre tu ne vorrai ottenere 12, quindi sarebbe 
più corretto mod 12, eventualmente con un + 1 alla fine. Ma questo non ha 
niente a che vedere con la frequenza (che tra l'altro può essere uu numero 
irrazionale). Prendi i due La a 440Hz e a 880Hz e vedrai che sia mod 13 che 
mod 12 danno risultati diversi. Semmai si può semplicemente dire che due 
note hanno lo stesso nome se il loro rapporto di frequenza è una potenza del 
2.

> Chiamiamo qui, tanto per fissare un linguaggio utile (ma forse non
> convenzionale), "scala" ogni sequenza di n, con 1 < n < 13, note entro
> una stessa ottava ordinate a frequenza crescente.
> Ad ogni scala di n note (a1, a2, ..., an) possono essere associate
> altre n-1 scale (dette "modi") di n note in questo modo: (a2, a3, ...,
> an, a1), (a3, a4, ..., an, a1, a2), eccetera. Supponiamo anzi che R
> sia la relazione che lega tra loro le scale secondo questo criterio.
> si vede facilmente che R è una relazione di equivalenza e le classi di
> equivalenza sono insiemi di n scale.

> Do l'ultima definizione ad hoc: chiamiamo adiacenti due note se queste
> vengono effettivamente una dopo l'altra nella sequenza infinita di
> frequenze detta prima, ma anche se si tratta della dodicesima nota con
> la prima. In altre parole chiameremo adiacenti anche il SI col DO!

> Bene, le premesse sono finite.

> Concentriamoci sulle scale di 7 note.
> La domanda è: quante scale di 7 note esistono a meno di equivalenze
> rispetto a R tale da soddisfare la seguente richiesta:
> - la scala non deve possedere tre note adiacenti consecutive.

Non è che sia tutto chiarissimo, vediamo se ho capito la sostanza. Tu chiedi 
grosso modo una cosa del genere:
Supponiamo di avere un tavolo rotondo con 12 sedie attorno. In quanti modi 
diversi possono essere occupate 7 di queste 12 sedie senza che ci siano mai 
3 (o più?) occupanti in posti adiacenti? Tutto questo a meno di rotazioni e 
scambi di persone. E' così più o meno?

> A dire il vero credo di averlo calcolato, ma non si sa mai, potrei
> aver sbagliato. a me viene (lo dico in termini non immediati per non
> togliere il bello di calcolarlo agli altri!): quarantesima cifra dopo
> la virgola di pi greco moltiplicato per la quarantunesima cifra dopo
> la virgola di pi greco. Non fate i furbi però! datemi un accenno di
> dimostrazione oltre al numero.

> Anzi, già che ci sono (anche se ora divento semi-OT) vi chiedo se
> sapete dell'esistenza di un sito o un libro (in italiano) che parla di
> queste ed altre cose del genere in modo più approfondito! Preferendo
> ovviamente quelli che espongono le cose nel classico stile da
> matematico nel rigore delle definizioni più che da musicista (con
> tutto il rispetto per i musicisti).

Di libri e trattazioni tecniche sull'argomento ce ne saranno tantissimi. Te 
ne posso citare uno che ho per le mani, ma non saprei se consigliartelo. E' 
"Accordature e accordatori" di Pietro Righini del 1978, tratta di vari tipi 
di scale e contiene parecchi numeri. :-)

Come ultima cosa, ma forse lo saprai, volevo dirti che la teoria del 
rapporto di semitono basato sulla "radice dodicesima di 2" non è adeguata 
per ottenere un'accordatura soddisfacente (in particolare di un pianoforte). 
Per questioni legate, per alcuni, alla percezione dei suoni da parte 
dell'orecchio umano, per altri, alla caratteristica fisica delle corde (la 
cosiddetta "inarmonicità"), avviene che per ottenere un'accordatura 
soddisfacente si debbano progressivamente "crescere" tutte le note delle 
ottave alte rispetto ai valori di frequenza che dovrebbero avere in base 
alla formuletta della radice dodicesima di 2 ed eventualmente intervenire 
anche sulle ottave basse. Questo mette in crisi tutto il sistema dei 
rapporti multipli di 2 tra le ottave ecc. Insomma la questione non è affatto 
semplice... :-)

Ciao

Giorgio