Re: Spirala Ulama

WM napisa³:
> Liczby pierwsze, jak to widaæ w spirali Ulama, 
> nie uk³adaj± sie ca³kiem przypadkowo:
> http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html
> 
> Czy uda³o siê uzasadniæ dlaczego tak jest?

Doprawdy nie ma w tym nic dziwnego. Ulam o¶ liczbow± liczb naturalnych 
'zawin±³' w kwadratow± spiralê. Otrzyma³ w ten sposób bardziej spakowany 
zbiór ( N -> (nx,ny)).
Zbiór liczb pierwszych ma nieregularne odstêpy. Nic zatem dziwnego, ¿e 
po 'zwiniêciu' wystêpuj± nieregularne puste obszary. Dodatkowym 
wizualnym efektem jest to, ze zbiór (nxi,nyi) jest zbiorem dyskretnym i 
w zale¿no¶ci od grubo¶ci 'kropki' na wykresie puste obszary s± wiêksze 
lub mniejsze.
Jak dobrze siê przyjrzeæ to mo¿na dostrzec, ¿e na wykresie 'kropki' 
uk³adaj± siê w mniej lub lepiej zaznaczone linie o nachyleniu (45 lub 
-45) st. Ale to te¿ nic dziwnego, bo przypomina to nieco szeregi 
Dirichleta ( choæ poprawnie to s± jakie¶ wielomianowe(?) szeregi Dirichleta)

> Czy znaleziono (teoretycznie, nie doswiadczalnie) obszary, w których liczby 
> pierwsze wystêpuj± czê¶ciej ni¿  to wynika z rozk³adu normalnego?

Po pierwsze : zbiory liczb pierwszych nie maj± nic wspólnego z jakim¶ 
rozk³adem a tym bardziej  z rozk³adem ci±g³ym.
Po drugie : odsetek liczb pierwszych maleje ze wzrostem N
Po trzecie:  dwuwymiarowa 'gêsto¶æ' liczb pierwszych po transformacji 
Ulama jest nieco z³o¿onym problemem i nie wystarczy tutaj miejsca bo to 
rozwik³aæ

> Czy s± znane konstrukcje geometryczne, dla innych liczb ni¿ pierwsze 
> pokazuj±ce, ¿e ich rozk³ad odbiega od rozk³adu normalnego? 

  jw

> Czy rozwiniêcia dziesiêtne liczb typu pi ,lub e zachowuj± siê ca³kiem losowo?

Je¿eli przez rozwiniêcie dziesiêtne rozumiesz zbiór kolejnych cyfr 
dziesiêtnych liczby pi lub e, to w dostatecznych du¿ym zbiorze, odsetek 
ka¿dej cyfry jest jednakowy (1/10) ale ma to bardzo lu¼ny zwi±zek z 
losowo¶ci±


-- 
  Gik