Ændring i fart lig acceleration integraret over tid

Jeg ville lige beskrive et banalt problem og blev usikker på hvad meningen 
er. Lad mig forklare.

Hvis jeg har en tidsafhængig acceleration a(t)=sin(t) så er accelerationen 
integreret lig med -cos(t).
Jeg ville så her hurtigt skrive v(t)=v0+ -cos(t), altså hstighedsændringen 
er accelerationen integreret over tid, men det giver jo ikke rigtig mening 
he, for
-cos(0)=-1, så udtrykket siger at hastigheden til tiden t=0 faktisk er en 
mindre end den er.
Det kan fikses ved at rete til
v(t)=v0 + (-cos(t) +cos(0))=v0 hvor jeg så ændrer på det så nu skriver det 
bestemte integral istedetfor det ubestemte. Er det ganske korrekt eller 
kager jeg helt rundt i det her? Man er jo vandt til bare at skrive det på 
første form. Integrere acceleration og få a*t, så det er v(t)=v0+a*t, men 
det dur jo egentlig kun hvis integralet for t=0 er 0... help! anyone?!