Taylor-serie

Jeg undrer mig lidt over den måde man mange steder angiver fejlen ved en 
forkortet taylorserie.
Eksempelvis serien for sin(x) udviklet omkring x=0 ser jeg beskrevet som
sin(x) approx= x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!). Det er rimeligt nok.
Så skriver man at fejlen er ikke mere end (x^9/9!). Ja, ok. Første manglende 
led er et sinusled som er nul så første manglende led, som ikke er nul, er 
en cosinus af 0, altså 1, ganget med (x^9/9!), så derfor er dette fejlen... 
eller nej, det er det jo ikke for der kommer flere led som også bidrager med 
fejl. Kun ganske lidt for x<1, men de er der vel stadig, så den præcise fejl 
er ikke den angivne, men fejlens størelsesorden er ganske rigtigt den 
angivne.

Misforstår jeg noget når jeg opfatter udtalelsen om fejl sådan her?
Et eksempel kan være http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series i sektionen 
om konvergens.
I mine øjne er fejlens størelsesorden x^9/9! mens jeg ikke lige kender den 
helt absolutte fejl.