liczby pierwsze 4*n-1

Dla danego zbioru skończonego liczb pierwszych
chcemy uzyskać nową liczbę pierwszą.

Niech P będzie zbiorem skończonym liczb naturalnych.
Przez  P!  oznaczam ich iloczyn. Na przykład

  {1 2 3 4}! = 4! = 1*2*3*4 = 24.

Dla zbioru pustego  {}  mamy:

    {}! = 1

Gdy  P  jest skończonym zbiorem liczb
pierwszych, to liczba

            P! + 1  >  1

nie dzieli się przez żadną z liczb
należących do P. Jej najmniejszy podzielnik,
większy do 1, jest liczbą pierwszą, która
nie należy do  P.  Tak właśnie Euklides udowodnił,
że żaden zbiór skończony  P  nie zawiera wszystkich
liczb pierwszych. Dziś mówimy, że zbiór liczb
pierwszych jest nieskonczony.

UWAGA  Dla zbioru pustego  P := {}  otrzymujemy
najmniejszą liczbę pierwszą:

    {}! + 1 = 2

***

Niech teraz  P  oznacza dowolny skończony zbiór liczb
pierwszych postaci  4*n-1,  czyli dających resztę 3
z dzielenia przez 4. Wtedy liczba nieparzysta:

            X  :=  4*P! - 1
 
nie dzieli się przez żadną z liczb pierwszych
zbioru P. Ponadto liczba  X  wśród swoich dzielników
pierwszych musi mieć pewne  p = -1 mod 4 (czyli
dające resztę 3 z dzielenia przez 4) - w przeciwnym
wypadku wszystkie dzielniki pierwsze liczby  X
dawałyby resztę 1 z dzielenia przez 4, a więc także
liczba  X  dawałaby resztę 1 z dzielenia przez 4;
ale daje 3 (X = -1 mod 4).

Hans Rademacher i Otto Toeplitz napisali w swojej
popularnej monografii "The Enjoyment of Math" (po
polsku "Liczby i Figury"), że chociaż powyższy
dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych
 p = -1 mod 4  mógłby podać nawet sam Euklides, to
jednak jest on osiągnięciem już nowoczesnym.

***

A teraz lekko ulepszę powyższy wynik o liczbach
pierwszych p=-1 mod 4. Niech znowu  P  oznacza
taki zbiór skończony liczb pierwszych postaci  4*n-1,
że:

        P! > 5

(na przykład  P:={7};  wtedy  P! = 7 > 5).  Niech

        Y := P! - 3 + {-1}^|P|

Wtedy  Y  dzieli się przez pewną liczbę
pierwsza  p = -1 mod 4, która nie należy do  P.

Jest to drobne zaostrzenie poprzedniej metody,
gdyż  Y  jest z grubsza  4  razy mniejsze od  X.

Przykłady:

** dla P:={7}  otrzymujemy  Y = 7 - 3 - 1 = 3,
a więc (nową) liczbę pierwszą 3 = -1 mod 4.

** dla P:+ {3 7}  otrzymujemy liczbę pierwszą 19:

    Y  =  3*7 - 3 + 1 =  19  =  -1 mod 4

Dla porównania (patrz wyżej):

    X  =  4*(3*7) - 1  =  83

********

Pozdrawiam,

    Wlodek


-- 
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/