pi^2/6 a liczby pierwsze

Niech

    S(x) := 1 + 1/x^2 + 1/x^4 + ...

        =  1/(1-x^2)

dla  x > 1.  Wtedy zgodnie
ze wzorem i duchem Eulera:

    pi^2/6  =  1/1^2 + 1/2^2 + ...

    =  S(2)*S(3)*S(5)*S(7)*S(11)*...

gdzie iloczyn jest wziêty po wszystkich
liczbach pierwszych.

Poniewa¿  pi^2/6 jest niewymierne, to
liczb pierwszych jest nieskoñczenie
wiele (bowiem ka¿dy skoñczony iloczyn
S(2)*...*S(p)  jest liczb± wymiern±).

Jest to znany dowód nieskoñczono¶ci
zbioru liczb pierwszych, i stary, ale
nie wiem komu przyszed³ do g³owy.
Zaskakuj±cy dowód. Tylko dowód topologiczny
jest jeszcze dziwniejszy i nieoczekiwany.
Jednak najwiêkszy, ogromny wp³yw na teoriê
liczb, poza dowodem samego Euklidesa,
mia³o twierdzenie Eulera o nieskoñczono¶ci
sumy odwrotno¶ci liczb pierwszych, co
zapocz±tkowa³o analityczn± teoriê liczb.

Pozdrawiam,

    Wlodek

-- 
Wys³ano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/