Re: p(n+1) a funkcja Eulera

Wlodzimierz Holsztynski <guru_ji.SKASUJ@gazeta.pl> napisał: 

> liczby
> 
>   2^0=1  2^1=2  2^2=4  2^3=8
> 
> mają sumy i różnice par podzielne wyłącznie
> przez liczby pierwsze  2  3  5  7.  Podobnie
> jest gdy wszystkie te liczby przemnożymy przez
> potęgę 2.  Rozpatrzmy 8 liczb:
> 
>   p(1)*...*p(n) - 2^4
>   p(1)*...*p(n) - 2^3
>   p(1)*...*p(n) - 2^2
>   p(1)*...*p(n) - 2^1
>   p(1)*...*p(n) + 2^1
>   p(1)*...*p(n) + 2^2
>   p(1)*...*p(n) + 2^3
>   p(1)*...*p(n) + 2^4
> 
> dla dowolnie ustalonego naturalnego n >/ 3,
> tak że każda z ośmiu liczb jest > 1. Każda
> jest niepodzielna przez żadną z liczb p(k),
> dla k=0...n. Co więcej, każde dwie są
> relatywnie pierwsze, gdyż ich różnice
> dzielą się tylko przez liczby pierwsze 2 3 5 7
> i żadne inne.

Gdy rozpatrujemy same różnice, to możemy
dodać jedną potęgę 2; liczby

    1  2  4  8  16

mają różnice, które dzielą się jedynie przez
liczby pierwsze  2  3  5  7,  i żadne inne.
Stąd twierdzenie:

Piątka liczb:

        p(1)*...*p(n) - 2^5
        p(1)*...*p(n) - 2^4
        p(1)*...*p(n) - 2^3
        p(1)*...*p(n) - 2^2
        p(1)*...*p(n) - 2^1

są parami względnie pierwsze i niepodzielne
przez żadną z liczb pierwszych  p(0) ... p(n),
dla każdego  n = 3,4,...

Zwróćcie uwagę na konstruktywną, konkretną
naturę powyższych wyników. Otrzymalismy ściśle
skupione, konkretne grupy liczb parami względnie
pierwsze, podzielne tylko przez spore liczby
pierwsze, przez żadną małą.

Rozpatrzmy teraz następujące liczby, które
nie dzielą się przez żadną liczbę pierwszą,
większą od 3:

  K := {1 2 3 4 5 6 8 9  12  16  18  24}

Sumu i różnice par tych liczb mogą dzielić
się przez

  2  3  5  7  11  13  17  19  23  29

i przez żadne inne liczby pierwsze (29=p(9)).
Niech liczba naturalna n spełnia: n >/ 9.
Niech:

  L := {p(2)*...p(n) + 6*x : x lub -x \in K}

Zbiór  L  jest 26-elementowy. Każda para
elementów L jest względnie pierwsza, oraz
elementy zbioru L nie są nigdy podzielne przez
żadną liczbę pierwszą spośród p(0) ... p(n).

Zauważcie, że wcześniejsze iloczyny p(k)*...*p(n)
omijały p(0)=2, bo mieliśmy  k=1. Tym razem
jest wciąż lepiej, bo omijamy w iloczynie
liczby pierwsze 2 oraz 3 - mamy k=2, co czyni
nasze podane przykłady wciąż mniejszymi.

***

Poprzestaję (na razie) na takich szczególnych
konstrukcjach, żeby nie wyjśc poza naiwnie
elegancki obszar, kiedy zbiór rozpatrywanych
dzielników pierwszych sum i różnic na przykład
elementów zbioru K, a więc zbioru L (!) jest
początkowym odcinkiem liczb pierwszych. Dla
prostoty sformułowań wyników chciałem (na razie)
unikać sytuacji ogólnej, gdsy nie mamy odcinka.
Jednak kwestia odcinka jest koncepcyjnie tutaj
drugorzędna.

Pozdrawiam,

    Włodek

-- 
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/