Re: Twierdzenie, a Godel

Kowdlar pisze:

Dobra, zacznijmy od początku:

> Przypuśćmy, że mamy dany system formalny, który opiera się na przeliczalnej 
> ilości aksjomatów, który zawiera język formuł logicznych w postaci 
> klasycznej fogiki.I mamy tak, zgodnie z twierdzeniem Godla, 

A co z rekurencyjnością teorii i zawieraniem arytmetyki? Jak chcesz bez 
tego stosować twierdzenie Goedla?

> istnieje 
> twierdznie, zdanie, oparte na języku tego systemu, które nie można 
> udowodnić, 

Zdanie, owszem. Co to ma być "twierdzenie, którego nie można udowodnić"? 
Twierdzeniem teorii, z definicji, jest każde zdanie, którego ona dowodzi.

> a dowodzenie przecież, ponieważ system oparty jest na logice 
> klasycznej, polega albo na zastosowaniu formuły A ==> B ,

Co to ma znaczyć, że dowodzenie "polega albo na zastosowaniu formuły A 
==> B"? Dowodzenie polega na uznaniu za dowodliwe zdania B, pod 
warunkiem że dowodliwe są A oraz A => B.

> skoro A jest 
> prawdą, i implikacja( dowodzenie jest porawna), to B jest też prawdą, albo 

Czy coś tu ma być prawdą, czy dowodliwe?

> przez dowodzenie nie wprost, czyli spowadzenie do absurdu, To są dwa 
> podstawowe(i jedyne) postacie dowodzenia w logice klasycznej. Skoro B ( 
> czyli twierdzenie, które nie można udowodnić) 

Znowu...

> w tym systemie formalnym nie 
> można udowodnić , czyli mamy imlikację   A==> B, gdzie A to jest asjomatem w 
> tym systemie, a B może być prawdziwe lub fałszywe, czyli ma czyli ma warości 
> 1 lub 0( nie można określić). 

Co to jest wartość 1 lub 0? Dowodliwość?

> Zajrzyjmy do tabelki implikacji, jeśli B 
> przyjmuje wrtości 1 lub 0, to wynika, że A musi mieć wartość 0(być fałszem), 
> ale Ajest aksjomatem, więc ma wartośc 1, czyli udowadniłem w tym momencie, 
> że A ma zarówno wartość logiczną 1, jak i 0, czyli udowadniam, 

Przepraszam?

> że jeżeli w 
> sytemie formalnym oparym na systemie dowodzenia zgodnym z logiką klasyczną 
> istnieje twierdzenie( zdanie) wyrażone językiem tego systemu, które nie 
> można udowodnić w ramach tego systemu, to conajmniej jeden z aksjomatów tego 
> systemu, nie wiadomo czy jest prawdziwy czy fałszywy. 

Aksjomaty nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. One po prostu są i z nich 
się wyciąga formalne wnioski.

> To brzmi 
> paradoksalnie, ale ja w cale nie sugeruję, że taki akjomat należy od razu 
> odrzucić, wszak jest on podstawą całego systemu. Można się zastanowić, czy 
> jest taki przykład w matematyce. Otóż ja twierdzę, że tak. Mamy teorię 
> mnogości, jest to sytem formalny oparty na skończonej ilości aksjomatów i 
> logikę klasyczną. 

Od kiedy teoria mnogości oparta jest na skończonej liczbie aksjomatów? 
Jaka teoria mnogości? ZFC?

> Otóż jest takie twierdzenie napisane w jezyku tego 
> systemu, które jest podejrzane, które, moim zdaniem nie można udowodnić. 
> Jest to twierdzenie Banacha-Tarskiego. 

To masz poważny problem, bo już Banach z Tarskim je udowodnili.

> Zgodnie z moim twierdzniem musi być 
> conajmniej jeden asjomat, który jest "podejrzany" i rzeczywiście aksomat 
> wyboru jest takim aksjomatem . 

Eureka. Tzn. szukasz twierdzenia teorii ZFC, którego nie da się 
udowodnić w ZF? A sam AC Ci nie wystarczy?

> Zgodnie z moim twierdzeniem, 

Możesz jakoś sformułować to swoje przełomowe twierdzenie?

> musi istnieć w 
> tym systemie taki aksjomat, ale nie można go wykluczyć z tego systemu( wszak 
> tworzy on z innymi aksjomatami) wszystkie zdania tego systemu. 

Co to znaczy, że "aksjomat tworzy zdania systemu"?

> Zastanówmy 
> się, czy jeśli mamy sytuację odwrotną, że mamy asjomat, który jest 
> podejrzany(brzmi paradoksalnie: aksjomat podejrzany, czyli który nie można 
> określić czy jest prawdziwy czy fałszywy),   czyli kasjomat, który nie widomo
> czy jest prawdziwy czy fałszywy. 

Jak wyżej - o żadnym aksjomacie nie możesz określić, czy jest (tak w 
ogóle, w próżni) prawdziwy albo fałszywy. BTW, jeszcze raz gratuluję 
logicznego formułowania myśli w języku polskim.

> Przyjmijmy jednak, że jest prawdziwy. Z 
> tego aksjomatu, korzystając z formuły dowodzenia ( A ==> C) udowadniam, że 
> twierdzenie C jest prawdziwe( C=1), ale udowodnienie tego twierdzenia( tak 
> sobie przyjmuję) jest tylko możliwe z tego aksjomatu (A), ale wiem, że A 
> może być też falszywe,  a  więć formuła logiczna A==>C już nie może służyć 
> jako dowód poprawność czy fałszu twierdzenia C, czyli nie wiem czy C jest 1, 
> czy 0, a założyłem sobie, że to twiereznie można tylko udowodnić z kasjomatu 
> A. Czyli jaki wniosek?Jesli mam w systemie formalnym opartym nam 
> przeliczalnym zbiorze aksjomatów i logice klasycznejk asjomat podejrzany, to 
> istniej twierdzenie(zdanie) w tym systemie, którego nie mogę udowodnić, choć 
> zdanie to zapisane  jest w języku tego systemu. Przykład: geometria. 

Czyli po ludzku mówiąc: jeżeli w aksjomatyce istnieje aksjomat nie 
wynikający z pozostałych, to istnieje zdanie, które można udowodnić w 
całej teorii, ale nie można go udowodnić bez tego aksjomatu. Eureka!

Sam ten aksjomat jest takim zdaniem.

Pozdrawiam,
Marcin