Re: Cette fonction est-elle négative ?

On 23 juil, 19:53, george.kli...@gmail.com wrote:
> Bonjour,
>
> Au détour d'un calcul de dérivation impliquant des fonctions gamma, je
> rencontre la fonction suivante :
>
> f(m,n) := trigamma(n)*trigamma(n+m) + trigamma(m)*trigamma(n+m) -
> trigamma
> (m)*trigamma(n)
>
> Tout ce que je sais de la trigamma (dérivée seconde de la logGamma),
> c'est qu'elle est monotone décroissante sur R+ (http://
> mathworld.wolfram.com/TrigammaFunction.html).
>
> Je voudrais montrer que la fonction f ci-dessus est toujours négative
> pour tout m,n strictement positifs. Je vois numériquement que c'est
> bien le cas mais ne trouve pas le moyen de le démontrer.
>
> Tout suggestion ou piste même partielle ou approximative serait
> vraiment la bienvenue !
>
> Merci d'avance pour votre aide,
>
> George.

Bonjour,

Mon idée (je ne suis qu'un amateur en maths) est d'encadrer
trigamma par une fonction majorante et une minorante
et ensuite, dans votre expression, de majorer la partie
positive et de minorer la négative.
Pour ça je considère le developpement asymptotique de
trigamma, qui est irrégulièrement alterné, et je
le tronque convenablement pour obtenir l'encadrement voulu.
Ensuite je constate que dans l'expression obtenue
(le facteur dont le signe est douteux) les termes
de plus haut degré ont tous des coefficient négatifs,
et donc, que pour m et n suffisamment grands,
l'expression sera négative.
(J'espère que quelqu'un de plus qualifié que moi trouvera mieux,
c'est-à-dire une vraie preuve!)

Voici le calcul que j'ai pu faire avec Mathematica:

In[1]:= trigamma=PolyGamma[1,#1]&;

In[2]:= f[m_,n_]:=trigamma@(n)*trigamma@(n+m)+trigamma@(m)*
trigamma@(n+m)-trigamma@(m)*trigamma@(n)

In[3]:= min[1,m_]=Series[PolyGamma[1,m],{m,\[Infinity],5}] //Normal
Out[3]= -(1/(30*m^5)) + 1/(6*m^3) + 1/(2*m^2) + 1/m

Petite vérification:
In[4]:= Table[min[1,m] < PolyGamma[1,m],{m,1000,10000,1000}]
Out[4]= {True,True,True,True,True,True,True,True,True,True}

In[5]:= maj[1,m_]=Series[PolyGamma[1,m],{m,\[Infinity],4}] //Normal
Out[5]= 1/(6*m^3) + 1/(2*m^2) + 1/m

Vérifions:
In[6]:= Table[maj[1,m] > PolyGamma[1,m],{m,1000,10000,1000}]
Out[6]= {True,True,True,True,True,True,True,True,True,True}

In[7]:= r=-min[1,m] min[1,n]+maj[1,m] maj[1,m+n]+maj[1,n] maj[1,m+n] //
Factor
Out[7]= (1/(900*m^5*n^5*(m + n)^3))*(-m^3 + 5*m^5 + 15*m^6 + 30*m^7 -
3*m^2*n + 15*m^4*n + 45*m^5*n + 90*m^6*n - 3*m*n^2 +
   20*m^3*n^2 + 45*m^4*n^2 + 90*m^5*n^2 - n^3 + 20*m^2*n^3 +
30*m^3*n^3 - 45*m^4*n^3 - 150*m^5*n^3 - 150*m^6*n^3 +
   15*m*n^4 + 45*m^2*n^4 - 45*m^3*n^4 - 450*m^4*n^4 - 750*m^5*n^4 -
450*m^6*n^4 + 5*n^5 + 45*m*n^5 + 90*m^2*n^5 -
   150*m^3*n^5 - 750*m^4*n^5 - 900*m^5*n^5 + 15*n^6 + 90*m*n^6 -
150*m^3*n^6 - 450*m^4*n^6 + 30*n^7)

In[8]:= Cases[r[[5]] ,_ m^p1_  n^p2_ /; p1+p2==10]
Out[8]= {-450*m^6*n^4, -900*m^5*n^5, -450*m^4*n^6}

Tous les coefficients de plus haut degré sont bien négatifs

V.Astanoff