Sous-corps de k(X)

Soit k un corps de caractéristique p > 0. On note K=k(X) le corps des 
fractions rationnelles sur k, et K_0 le sous-corps k(X^p).

Comment montrer que le degré de K sur K_0 est égal à p? J'arrive bien à 
montrer que 1, X, ..., X^{p-1} est une famille libre de K (sur le corps 
K_0), mais pas que c'est une famille génératrice. Pouvez-vous m'en donner 
une preuve? Evidemment j'arrive à prouver que 1, X, ..., X^{p-1}est une 
famille génératrice de k[X] considéré comme k[X^p]-module.

Peut-on trouver une démonstration constructive? C'est à dire prenant un 
élément de k(X), l'écrire comme somme A_0 * 1 + ... + A_{p-1} * X^{p-1} avec 
A_0, ..., A_{p-1} dans K_0 avec un algorithme permettant de trouver ces 
derniers éléments.