représentations du groupe orthogonal SO(n)

Bonjour à toutes et à tous


   Je suis à la recherche des représentations (irréductibles de
dimension finie) des groupes SO(n), et de leurs algèbres. Je voudrais
de préférence les voir dans le contexte des espaces de racines, et des
vecteurs de plus haut poids.

   Pour SO(3), c'est bon. N'importe quel cours de mécanique quantique
fait ça, et traduire en termes d'espaces de racines n'est pas
compliqué.

  Par contre pour les so(n), n>3, je n'ai pour ainsi dire rien trouvé
sur internet.

Ce que je sais déjà, à propos de l'algèbre so(5) c'est ceci.
Disons que J_ij est la matrice (infinitésimales) de rotation dans le
plan ij.
J'ai que A_1 = J_12 et A_3 = J_34 forment une sous algèbre de Cartan,
et que avec les matrices qu'il reste, je peux former des opérateurs de
montée et de descente, dont les suivants :

L_3^- = J__34+iJ__45
L__13^{-+} = J_13 - i J_14 +i J_23 + J_24.

Le premier est un opérateur de descente pour la va valeur propre de
A_3, et le second descend pour A_1 et monte pour A_3 :

[ A_1, L_3^- ] = 0
[A_3 , L_3^- ] = -L_3^-
et
[ A_1, L_13^{-+} ] = - L_13^{-+}
[A_3 , L_13^{-+} ] =  L_13^{-+}

En d'autres termes, si (a,b) est la racine qui donne a sur A_1 et b
sur A_2, alors
L_3^- corresponds à (0,-1)
L_13^{-+} corresponds à (-1,1)

Par propriété des espace de racines, j'ai la relation de commutation
(à un facteur près)

[ L_3^- , L_13^{-+} ] = L_1^-
Cela est la relation
[ (a,b)  ,  (c,d) ] inclu à ( a+c , b+d ).

En conséquence, si $v$ est mon vecteur de plus haut poids (que
j'appelle (l1,l2) ), j''ai

L_1^- (v) = (L_3^-)(L_13^{-1}) (v) - (L_13^{-1})(L_3^-)(v).

Cela me fait penser que l'espace de poids ( l1-1,l2 ) est de dimension
plus que un, et que donc la théorie dois être plus compliquée que
celle de SO(3).


Bref, est-ce que quelqu'un à une référence qui explique tout ça, de
préfeérence en détail et disponible sur internet ?

Merci
bonne soirée
Laurent